Можно и с российским, но это иногда вызывает проблемы.
Не знаю, как при пересечении границы на поезде, а вот если ехать на машине, то на некоторых пропускных пунктах их погранцы ставят штампы о въезде и выезде прямо в российский паспорт (который после этого по нашему законодательству становиться НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ, т.к. в него допускаются только строго определенные записи). Как последствие - процедура замены паспорта.
Такая история была уже с двумя моими знакомыми.
Так что лучше с загранпаспортом... Во всяком случае стоит проследить, чтобы в общегражданский паспорт не потянулись ставить какие-нибудь штампы))